Lo que la tortuga le dijo a Aquiles

¿Qué le dijo la tortuga a Aquiles? De acuerdo con Carroll, que la lógica no puede obligar a nadie a inferir nada si esa persona decide no aceptar la regla de inferencia. Tal vez hay una diferencia entre inferir e implicar. 

1. Regresión infinita

El texto abre con Aquiles sentado sobre el caparazón de la Tortuga, satisfecho de haber alcanzado al animal pese a la famosa paradoja de Zenón. Carroll cita:

“Así que llegaste al final de nuestra pista de carrera… ¿aunque consista en una serie infinita de distancias?”

Aquiles responde confiado: se resuelve solvitur ambulando, caminando. Pero la Tortuga sonríe: esa carrera era fácil. Ahora quiere proponerle una carrera lógica, más peligrosa. La nueva carrera consiste en una donde parece que hay solo dos o tres pasos, pero en realidad hay infinitos. Cada paso exige otro, y otro, etc. Esta vez la pista no será física, será lógica. 

2. Ejemplo 

La Tortuga le pide a Aquiles que anote tres enunciados:

(A) “Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.”

(B) “Los dos lados de este triángulo son cosas iguales a una misma cosa.”

(Z) “Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.”

Para cualquier estudiante de geometría, esto es trivial: de A y B se sigue Z.

Aquiles lo dice : Si aceptas A y B, estás lógicamente obligado a aceptar Z. Pero Carroll aclara, con humor, que alguien puede:

• aceptar A y B pero no aceptar la inferencia,

• o aceptar la inferencia pero no las premisas.

Y cualquiera que haga eso, dice, “debería dedicarse al fútbol”.

3. Convertir la regla en una premisa

Este es el veneno del texto. La Tortuga toma una postura irritante:

• Acepta A.

• Acepta B.

• Pero se niega a aceptar que de A y B se siga Z.

Y reta a Aquiles a “obligarlo lógicamente”. Aquiles, creyendo haber encontrado la solución, introduce una nueva premisa:

(C) “Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.”

Ahora piensa que sí: “Si aceptas A, B y C, estás obligado a aceptar Z.”

Pero la Tortuga responde:

“Ese es otro condicional. Escríbelo también.”

Y lo convierte en:

(D) “Si A, B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera.”

Aquiles cree que ya está… pero la Tortuga replica:

“Todavía puedo negarme a aceptar Z. Tendrás que añadir otro condicional…”

4. Regreso al infinito, E, F, G

Aquiles añade (E).
La Tortuga exige (F).
Luego (G).
Luego (H)… hasta el infinito.

Carroll cierra la escena con un golpe, sugiriendo que meses después Aquiles sigue sentado sobre la tortuga, escribiendo miles e condicionales en su cuaderno. La tortuga dice: "Ya escribiste el último paso, todavía faltan millones más". 

Finalmente, Carroll ensaya un par de chistes más:  

Taught-Us
La Tortuga quiere rebautizar a Aquiles como “Taught-Us” (“nos enseñó”), porque su conversación servirá para educar a generaciones de lógicos.

A Kill-Ease
Aquiles, exhausto, dice que aceptará el nombre si ella acepta ser llamada “A Kill-Ease”, un juego de palabras donde su propio nombre suena como “un Aquiles que mata”… pero también como un Aquiles destrozado, sin fuerzas.

5. Inferir e implicar

La propuesta del texto de Carroll, es que  inferir no es lo mismo que implicar.

El condicional:

“Si A y B, entonces Z”

es una proposición.

Pero el paso:

A, B ⊢ Z

es una regla.

La Tortuga acepta infinitos condicionales —implicaciones—, pero nunca da el paso inferencial.

Carroll muestra que:  Una regla de inferencia no puede reducirse a una proposición. Si lo intentas, caes en un regreso infinito donde ya no puedes razonar.

6. La escalera imposible

De acuerdo con la propuesta de Carroll, razonar es subir una escalera. Los peldaños son proposiciones: A, B, C, D… El acto de subir es la regla: el paso inferencial.

Alguien como la tortuga acepta todos los peldaños: “A, B, C, D, E… ponlos en el cuaderno, todos.” Pero se niega a levantar el pie.

Alguien lógico, como Aquiles dibuja peldaños que dicen: "Si estás aquí, debes subir al siguiente.” Pero dibujar peldaños nunca sustituye el acto de ascender.

Puedes llenar páginas enteras de peldaños, pero si no mueves el cuerpo, la escalera no cumple su propósito.

Ese parece ser el punto de Carroll: Una regla es un movimiento. Y ningún enunciado puede obligarte a mover el pensamiento. 

Aquiles es triturado lógicamente porque confunde contenido con movimiento. La lógica no puede obligar a nadie a inferir nada si esa persona decide no aceptar la regla de inferencia.

Carroll anticipa puntos profundos que luego desarrollarán Frege y Gentzen:

• La lógica no es solo un sistema de fórmulas.

• Es un sistema de reglas de transformación.

• Las reglas no son verdaderas o falsas: son válidas, como acciones.

• Ningún sistema puede reducir todas sus reglas a axiomas sin paralizarse.

Si esto es así, la lógica no es un conjunto de reglas, sino saltso que estamos dispuestos a dar. Sin salto no hay razonamiento.